مبانی ریاضیات گسسته

مفهوم یک مجموعه. رابطه بین مجموعه ها

مجموعه مجموعه ای از اشیاء است که دارای خاصیت خاصی هستند که در یک کل واحد متحد شده اند.

اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند نامیده می شوند عناصرمجموعه ها برای اینکه مجموعه خاصی از اشیاء را مجموعه نامید، باید شرایط زیر وجود داشته باشد:

· باید قاعده ای وجود داشته باشد که براساس آن تعیین اینکه آیا یک عنصر به یک مجموعه معین تعلق دارد یا خیر، تک است.

· باید قاعده ای وجود داشته باشد که بر اساس آن بتوان عناصر را از یکدیگر متمایز کرد.

مجموعه ها با حروف بزرگ و عناصر آن با حروف کوچک مشخص می شوند. راه های تعیین مجموعه ها:

· شمارش عناصر مجموعه. - برای مجموعه های محدود

تعیین یک ویژگی مشخصه .

مجموعه تهی- به مجموعه ای گفته می شود که فاقد عنصر (Ø) باشد.

اگر دو مجموعه از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند، برابر هستند. ، A=B

یک دسته از بزیرمجموعه ای از مجموعه نامیده می شود آ(، اگر و فقط اگر همه عناصر مجموعه بمتعلق به مجموعه آ.

مثلا: ، ب =>

ویژگی:

نکته: معمولاً زیر مجموعه ای از همان مجموعه را در نظر می گیریم که به آن می گویند جهانی(u). مجموعه جهانی شامل تمام عناصر است.

عملیات روی مجموعه ها

آ

ب

1. اتحادیه 2 مجموعه A و B به مجموعه ای گفته می شود که عناصر مجموعه A یا مجموعه B به آن تعلق دارند (عناصر حداقل یکی از مجموعه ها).

2.عبور 2 مجموعه مجموعه جدیدی است که از عناصری تشکیل شده است که به طور همزمان به هر دو مجموعه اول و دوم تعلق دارند.

شماره:،،

دارایی: عملیات اتحادیه و تقاطع.

· جابجایی.

انجمنی. ;

· توزیعی. ;

U

4.اضافه. اگر آزیر مجموعه ای از مجموعه جهانی است U، سپس مکمل مجموعه آبه بسیاری U(نشان داده شده) مجموعه ای است که از آن عناصر مجموعه تشکیل شده است U، که متعلق به مجموعه نیستند آ.

روابط دودویی و ویژگی های آنها

اجازه دهید آو که دراینها مجموعه هایی از طبیعت مشتق شده هستند، یک جفت مرتب از عناصر را در نظر بگیرید (الف، ج) a ϵ A، c ϵ Bدستور داده شده "enks" را می توان در نظر گرفت.

(a 1، a 2، a 3، ... a n)، جایی که آ 1 ϵ A 1; آ 2 ϵ A 2; … آ n ϵ A n ;

محصول دکارتی (مستقیم) مجموعه ها A 1، A 2، ...، A n، مجموعه ای نامیده می شود که از n k مرتب شده از فرم تشکیل شده است.

شماره: م= {1,2,3}

M× M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

زیر مجموعه های محصول دکارتی نسبت درجه نامیده می شود nیا رابطه آناری اگر n=2، سپس در نظر بگیرید دودوییارتباط. اینا چی میگن a 1، a 2در رابطه باینری هستند آر، چه زمانی a 1 R a 2.

رابطه باینری در یک مجموعه مزیر مجموعه ای از حاصلضرب مستقیم مجموعه نامیده می شود nروی خودش

M× M = M 2= {(الف، ب)| a، b ϵ M) در مثال قبلی، نسبت در مجموعه کوچکتر است ممجموعه زیر را تولید می کند: ((1،2);(1،3); (2،3))

روابط دودویی دارای ویژگی های مختلفی هستند از جمله:

انعکاس پذیری: .

· ضد انعکاس (irreflexivity): .

· تقارن: .

· ضد تقارن: .

· گذرا: .

· عدم تقارن: .

انواع روابط.

رابطه هم ارزی؛

· رابطه سفارش.

v یک رابطه متعدی بازتابی را رابطه شبه مرتبه می نامند.

v یک رابطه متقارن بازتابی را رابطه هم ارزی می نامند.

v یک رابطه متعدی ضد متقارن بازتابی را رابطه مرتبه (جزئی) می گویند.

v یک رابطه متعدی ضد متقارن ضد بازتابی را رابطه ترتیب دقیق می نامند.

در زندگی روزمره، ما دائماً باید با مفهوم "رابطه" سروکار داشته باشیم. روابط یکی از راه های مشخص کردن روابط بین عناصر یک مجموعه است.

روابط یکنواخت (تک مکان) منعکس کننده وجود یک ویژگی R برای عناصر مجموعه M است (به عنوان مثال، "قرمز بودن" روی مجموعه توپ های داخل کوزه).

روابط دودویی (دوگانه) برای تعیین متقابل استفاده می شود

روابطی که جفت عناصر را در یک مجموعه مشخص می کند م.

به عنوان مثال، روی مجموعه ای از افراد، روابط زیر را می توان تنظیم کرد: "زندگی در همان شهر"، " ایکستحت هدایت کار می کند y"، "پسر بودن"، "بزرگتر بودن" و غیره. در مجموعه اعداد: "تعداد آتعداد بیشتر ب"، "عدد آمقسوم علیه عدد است ب"، "شماره آو ببا تقسیم بر 3 همان باقی مانده را بدهید.

در محصول مستقیم، جایی که آ- مجموعه ای از دانشجویان هر دانشگاه، ب- مجموعه ای از موضوعات مورد مطالعه، زیر مجموعه بزرگی از جفت های مرتب شده قابل تشخیص است (الف، ب)داشتن دارایی: "دانشجو آموضوع را مطالعه می کند ب". زیرمجموعه ساخته شده منعکس کننده رابطه "یادگیری" است که بین مجموعه های دانش آموزان و آزمودنی ها رخ می دهد. تعداد نمونه ها ادامه دارد

رابطه بین دو شی موضوع مطالعه اقتصاد، جغرافیا، زیست شناسی، فیزیک، زبان شناسی، ریاضیات و سایر علوم است.

برای یک توصیف دقیق ریاضی از هرگونه ارتباط بین عناصر دو مجموعه، مفهوم یک رابطه باینری معرفی شده است.

رابطه دودویی بین مجموعه های A و Bزیر مجموعه R محصول مستقیم نامیده می شود. در شرایطی که شما فقط می توانید در مورد رابطه صحبت کنید آربر آ.

مثال 1. جفت های مرتب شده متعلق به روابط باینری را بنویسید R1و R2، بر روی مجموعه ها تعریف شده است آو : , . زیرمجموعه R1متشکل از جفت: . زیرمجموعه .

دامنه Rمجموعه ای از تمام عناصر از آبه طوری که برای برخی از عناصر داریم . به عبارت دیگر حوزه تعریف آرمجموعه تمام مختصات اول جفت های مرتب شده از است آر.

ارزش های زیادیارتباط آردر مجموعه ای از همه به گونه ای وجود دارد که برای برخی . به عبارت دیگر مجموعه ارزش ها آرمجموعه تمام مختصات دوم جفت های مرتب شده از است آر.

در مثال 1 برای R1دامنه تعریف: , مجموعه مقادیر - . برای R2دامنه تعریف: , مجموعه مقادیر: .

در بسیاری از موارد استفاده از نمایش گرافیکی یک رابطه باینری راحت است. به دو صورت انجام می شود: با کمک نقاط روی هواپیما و با کمک فلش.

در حالت اول، دو خط عمود بر هم به عنوان محور افقی و عمودی انتخاب می شوند. در محور افقی عناصر مجموعه قرار دارند آو از هر نقطه یک خط عمودی بکشید. عناصر مجموعه روی محور عمودی قرار دارند بدر هر نقطه یک خط افقی بکشید. نقاط تلاقی خطوط افقی و عمودی نشان دهنده عناصر محصول مستقیم است.

مثال 5. اجازه دهید ، .

اجازه دهید R1داده شده در شمارش جفت های مرتب شده: . رابطه باینری R2در مجموعه توسط قانون داده می شود: یک جفت مرتب می شود اگر آتقسیم بر ب. سپس R2متشکل از جفت: .

روابط دودویی، از مثال 2، R1و R2به صورت گرافیکی در شکل نشان داده شده است. 6 و شکل 7.

برنج. 6 شکل 7

برای به تصویر کشیدن یک رابطه باینری با استفاده از فلش ها، عناصر مجموعه به صورت نقطه در سمت چپ نشان داده می شوند آ، در سمت راست - مجموعه ها ب. برای هر جفت (الف، ب)موجود در رابطه باینری آر، یک فلش از آبه ب، . نمایش گرافیکی یک رابطه باینری R1نشان داده شده در مثال 6 در شکل 8 نشان داده شده است.

شکل 8

روابط دودویی در مجموعه های محدود را می توان با ماتریس ها به دست آورد. فرض کنید یک رابطه باینری به ما داده شده است آربین ست ها آو ب. , .

ردیف های ماتریس با عناصر مجموعه شماره گذاری می شوند آو ستونها عناصر مجموعه هستند ب. سلول ماتریسی واقع در تقاطع من- اوه خط و jستون -ام معمولا با C ij نشان داده می شود و به صورت زیر پر می شود:

ماتریس حاصل خواهد شد.

مثال 6بگذارید یک مجموعه داده شود. در یک مجموعه، رابطه را با یک لیست و یک ماتریس تعریف کنید آر- "به شدت کمتر باشد."

نگرش آرچگونه مجموعه شامل همه جفت عناصر است ( آ, ب)از جانب مبه طوری که .

ماتریس رابطه ساخته شده بر اساس قوانین فوق به شکل زیر است:

ویژگی های روابط باینری:

1. رابطه باینری آردر مجموعه نامیده می شود منعکس کنندهاگر برای هر عنصر آاز جانب مجفت (الف، الف)متعلق است آر، یعنی جایی برای هر کدام دارد آاز جانب م:

روابط "در یک شهر زندگی کنید"، "در همان دانشگاه تحصیل کنید"، "دیگر نباشید" انعکاسی هستند.

2. یک رابطه باینری نامیده می شود ضد انعکاس، اگر خاصیت انعکاس را برای هیچکدام نداشته باشد آ:

مثلاً «بیشتر بودن»، «جوانتر بودن» است روابط ضد بازتابی.

3. رابطه باینری آرتماس گرفت متقارن، اگر برای هر عنصر آو باز جانب ماز چه زوجی (الف، ب)متعلق است آر، ، نتیجه می شود که جفت (ب، الف)متعلق است آر، یعنی

متقارنخطوط موازی، زیرا اگر پس از آن // . رابطه متقارندر هر مجموعه ای "برابر باشند" یا "در N" همزمان باشند.

رابطه R متقارن است اگر و فقط اگر R=R -1 باشد

4. اگر برای عناصر غیر منطبق رابطه درست است، اما نادرست است، آن رابطه پاد متقارن. می توان طور دیگری گفت:

روابط ضد متقارن هستند"بیشتر بودن"، "قسم‌گیرنده بودن بر N"، "جوانتر بودن".

5. رابطه باینری آرتماس گرفت متعدی، اگر برای هر سه عنصر از آن جفت باشد (الف، ب)و (قبل از میلاد مسیح)تعلق داشتن آر، نتیجه می شود که جفت (a, c) متعلق به آر:

روابط گذرا هستند: «بیشتر بودن»، «موازی بودن»، «مساوی بودن» و غیره.

6. رابطه باینری آر ضد گذراگر خاصیت گذر را نداشته باشد.

به عنوان مثال، "عمود بودن" روی مجموعه خطوط صفحه ( , ، اما این درست نیست).

زیرا از آنجایی که یک رابطه باینری را می توان نه تنها با شمارش مستقیم جفت ها، بلکه با یک ماتریس نیز مشخص کرد، بهتر است دریابیم که ماتریس رابطه با چه ویژگی هایی مشخص می شود. آراگر باشد: 1) انعکاسی، 2) ضد انعکاس، 3) متقارن، 4) ضد متقارن، 5) متعدی.

اجازه دهید آررا روی .R تنظیم کنید یا به هر دو صورت اجرا می شود یا اصلاً اجرا نمی شود. بنابراین، اگر ماتریس دارای یک واحد در محل تقاطع باشد من- اوه خط و j- ستون، یعنی C ij=1، پس باید در تقاطع نیز باشد j- اوه خط و من- ستون، یعنی سی جی=1، و بالعکس، اگر سی جی= 1، پس C ij=1. بدین ترتیب، ماتریس نسبت متقارن نسبت به قطر اصلی متقارن است.

4. آرضد متقارن اگر و دلالت می کند: . این بدان معنی است که در ماتریس مربوطه، برای هر من, jبرآورده نشده است C ij =سی جی=1. بدین ترتیب، هیچ واحدی در ماتریس نسبت ضد متقارن وجود ندارد که نسبت به قطر اصلی متقارن باشد..

5. یک رابطه باینری R در مجموعه غیر خالی A نامیده می شود متعدیاگر

شرط فوق باید برای هر یک از عناصر ماتریس برآورده شود. و بالعکس، اگر در ماتریس باشد آرحداقل یک عنصر دارد C ij= 1 که این شرط برای آن برآورده نمی شود، پس آرمتعدی نیست

خود مفهوم "رابطه" البته برای شما آشناست. ما اغلب از آن در گفتار استفاده می کنیم. مثلاً می توان گفت که من با همه دانش آموزان گروهم رابطه خوبی دارم.

در زندگی دائماً در روابط مختلف هستیم و وارد روابط متفاوتی می شویم. با اعضای خانواده ما در رابطه با خویشاوندی هستیم، با همکلاسی ها - در رابطه با دوستی، با رهبران موسسه ای که در آن درس می خوانیم یا کار می کنیم - در رابطه با تبعیت و غیره. در این معنا، یک رابطه، ویژگی خاصی از یک ارتباط است.

در بخش 2.2 ما در مورد روابطی که بین اشیاء ریاضی وجود دارد صحبت کردیم. پس یک عنصر نسبت به یک مجموعه در رابطه تعلق است، دو مجموعه می تواند در رابطه شمول یا برابری باشد.

اکنون روابطی را که می تواند بین عناصر مجموعه ها وجود داشته باشد در نظر خواهیم گرفت. بنابراین گفتیم که رابطه برقرار شده بین عناصر مجموعه ها در مثال در نظر گرفته شده را باینری می گویند.

در اصل، در مثال، ما ابتدا حاصل ضرب دکارتی مجموعه‌های داده شده را گردآوری کردیم. مجموعه تمام جفت‌های عناصر این مجموعه‌ها، به طوری که اولین عنصر جفت به مجموعه اول و دومی به مجموعه دوم تعلق دارد. سپس از مجموعه این جفت ها، زیر مجموعه ای از آن جفت ها را انتخاب کردیم که نشان می دهد هر یک از دانشجویان در کدام دانشکده تحصیل می کنند.

تعریف 2.8. رابطه باینری بین مجموعه های دروغ که در هر زیر مجموعه ای از محصول دکارتی نامیده می شود آه وی.

روابط دودویی معمولاً با حروف الفبای یونانی نشان داده می شود: p ("rho")، a ("sigma")، | / ("psi") و غیره.

اگر p یک رابطه باینری بین مجموعه ها باشد آ و که در، سپس، با توجه به تعریف یک رابطه باینری، می توانیم بنویسیم که p c c L x B.

اگر یک زوج (الف ب ) متعلق به رابطه باینری p است، یعنی. (آ، ب ) e p، سپس می گوییم که عنصر آدر رابطه p با عنصر است ب، و arb بنویسید. بنابراین در مثال فوق، رابطه «تحصیل در دانشکده» در نظر گرفته شده است. سپس می توان گفت که پیتر در این رابطه با دانشکده ریاضیات است.

برای برخی از روابط در ریاضیات، نشانه های خاصی وجود دارد. مثلا،

با توجه به اینکه یک رابطه باینری مجموعه ای از جفت است، پس مانند هر مجموعه ای می توان آن را یا با برشمردن این جفت ها و یا با نشان دادن یک ویژگی مشخص برای انتخاب جفت های متعلق به این رابطه از حاصل ضرب دکارتی مشخص کرد.

مثال 2.6

بگذارید دو مجموعه عددی داده شود: A =(1، 3.5) و B =(2، 8، 10). بیایید یک رابطه باینری o بین این مجموعه ها با شمارش تعریف کنیم: آ= ((1، 2)، (5، 10)). ما می‌توانیم همین رابطه را با یک ویژگی مشخص تنظیم کنیم: یک رابطه باینری توسط جفت اعداد تشکیل می‌شود، به طوری که عدد مجموعه اول دو برابر کمتر از عدد مجموعه دوم است.

مثال 2.7

مجموعه ای از دانش آموزان را در گروه علمی خود در نظر بگیرید. اجازه دهید در این مجموعه رابطه "دوست بودن" را برقرار کنیم. برای هر جفت دانشجو در یک گروه دانشگاهی، می توان گفت که آیا آنها در یک رابطه خاص هستند یا نه. حتی ممکن است این رابطه باینری یک مجموعه خالی را تشکیل دهد. در چه صورت خواهد بود؟

در مثال آخر، باید به این نکته توجه کنید که ما نه بین عناصر دو مجموعه، بلکه بین عناصر یک مجموعه رابطه برقرار کردیم. این نیز ممکن است و منافاتی با تعریف رابطه باینری ندارد. فقط در این حالت، به جای حاصلضرب دکارتی دو مجموعه، باید مربع دکارتی مجموعه را در نظر گرفت.

یک رابطه باینری تعریف شده روی یک مجموعه می تواند ویژگی های متفاوتی داشته باشد. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

1. خاصیت انعکاس.

تعریف 2.9. منعکس کننده ، در صورت وجود a f Lجفت (a > a) eآر.

نگرش "

2. خاصیت تقارن.

تعریف 2.10.می گویند رابطه باینری p داده شده در مجموعه A است متقارن ، اگر برای هر عنصر a و ب از L از چه جفتی ( آ , ب ) در رابطه p است، نتیجه می شود که جفت ( ب , آ) در رابطه با R است.

برای مثال، رابطه تساوی تعریف شده بر روی مجموعه اعداد حقیقی متقارن است، زیرا اگر عدد ک برابر عدد است پ ) سپس شماره پ برابر عدد است ک. رابطه "دوست بودن" نیز متقارن است.

از طرف دیگر، نسبت ترتیب در قدر (

3. خاصیت ضد تقارن.

تعریف 2.11. می گویند رابطه باینری p داده شده در مجموعه A است ضد متقارن در اگر برای هر عنصر آ و ب از A از این واقعیت که جفت های (i، /;) و (/;، آ) در رابطه p هستند، نتیجه می شود که آ = ب

برای مثال، رابطه ترتیب قدر روی مجموعه اعداد حقیقی، ضد متقارن است. پس از همه، اگر شناخته شده است که برای اعداد ایکس و در انجام شده ایکس و در سپس این بدان معنی است که x - y. اما رابطه موازی خطوط ضد متقارن نیست، زیرا اگر یک خط باشد / به موازات یک خط مستقیم تیو مستقیم تیبه موازات یک خط مستقیم /, پس این به این معنی نیست که مستقیم / و تی مطابقت دادن آنها ممکن است متفاوت باشند.

4. خاصیت گذر.

تعریف 2.12.می گویند رابطه باینری p داده شده در مجموعه A است متعدی دراگر برای هر عنصر آ, ب و بااز L از چه زوج هایی (من، ب ) و (/?، c) در رابطه p هستند، نتیجه این است که جفت (الف، ج)همچنین در رابطه با r است.

ویژگی گذرا با روابط ترتیب در بزرگی، موازی بودن، رابطه «نسبی بودن» برخوردار است.

رابطه عمودی خطوط متعدی نیست (این را با یک تصویر نشان دهید). همچنین، رابطه «دوست بودن» اساساً گذرا نیست (اگرچه ضرب المثلی وجود دارد که در آن تمایل به گذرا بودن این رابطه بیان شده است: «دوست دوست من دوست من است»).

ما فقط ویژگی های اصلی روابط باینری را در نظر گرفته ایم که دو نوع روابط پرکاربرد را تعریف می کنند.

رابطه هم ارزی (یا هم ارزی) یک رابطه دوتایی است که دارای خواص بازتابی، تقارن و گذر است.

رابطه سفارش (یا نظم دهی) یک رابطه دوتایی است که دارای خواص بازتابی، ضد تقارن و گذر است.

به عنوان مثال، رابطه "همکلاسی بودن" یک معادل است، زیرا دارای خاصیت بازتابی، تقارن و گذر است. رابطه "بلندتر نبودن" در مجموعه ای از افراد، رابطه نظم است.

روابط هم ارزی و ترتیب در زمینه های مختلف ریاضیات بسیار مهم است و هنگام انجام طبقه بندی اشیاء مختلف از هم ارزی استفاده می شود. برای درک این موضوع، اجازه دهید ابتدا به یک مفهوم ریاضی مانند پارتیشن بندی یک مجموعه بپردازیم.

تعریف 2.13. تقسیم کردن مجموعه/! نمایش این مجموعه به عنوان اتحادیه ای از زیر مجموعه های منفصل نامیده می شود که نامیده می شوند کلاس های پارتیشن

برای بررسی اینکه با یک پارتیشن از یک مجموعه سروکار داریم، باید دو شرط را بررسی کنیم:

• اتحاد زیرمجموعه های به دست آمده از تقسیم، مجموعه اصلی است.
• محل تلاقی هر دو زیر مجموعه مجزا مجموعه خالی است.

هنگام انجام طبقه بندی، کلاس های پارتیشن اصطلاحاً می باشند کلاس های هم ارزی این کلاس ها چگونه ساخته می شوند؟

بگذارید روی مجموعه آ مقداری رابطه هم ارزی p معرفی شده است. هر عنصری را بگیرید آ از جانب آ و تمام عناصر از آ، که با آ در رابطه با ر. همه این عناصر کلاس هم ارزی عنصر را تشکیل می دهند آ. واضح است که خود عنصر آ در این کلاس قرار می گیرد در واقع، اگر p یک رابطه هم ارزی باشد، پس دارای خاصیت بازتابی است، یعنی. (الف) الف) ه p، به این معنی که خود عنصر آ متعلق به کلاس هم ارزی است که تشکیل می دهد.

می توان ثابت کرد که طبقات هم ارزی عناصر مختلفمجموعه ها یا منطبق هستند یا قطع نمی شوند. در این راستا می توان فرض کرد که این کلاس ها را می توان به عنوان کلاس های پارتیشن در نظر گرفت.

در واقع، قضیه ای وجود دارد که می گوید اگر یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه داده شود، مجموعه تمام کلاس های هم ارزی حاوی عناصر این مجموعه، پارتیشنی از این مجموعه است.

از سوی دیگر، می توان ثابت کرد که اگر مقداری از یک مجموعه وجود داشته باشد و یک رابطه باینری بر روی این مجموعه تعریف شود به گونه ای که یک جفت از عناصر مجموعه تنها در صورتی در این رابطه قرار گیرند که هر دو متعلق به مجموعه باشند. همان کلاس پارتیشن، سپس این رابطه باینری معادل خواهد بود.

شما می توانید سعی کنید هر یک از این گفته ها را خودتان اثبات کنید یا اثباتی را که در اثر ارائه شده است تجزیه و تحلیل کنید.

هنگام استفاده از کلاس های هم ارزی، مجموعه را به زیرمجموعه هایی تقسیم می کنیم که هر کدام حاوی نوعی عناصر "یکسان" هستند. به عنوان مثال، مجموعه تمام کسرهای مثبت را می توان به صورت زیر به کلاس های هم ارزی تقسیم کرد: 1) هر غیر قابل تقلیل را در نظر بگیرید.

کسر زمان (به عنوان مثال، -)؛ 2) در هر کلاس معادل

2 4 6 8 h t

به کسرهای موجود، تمام کسرهای برابر با آن را بگیرید - = - = - = 1akim

بنابراین، ما همه کسرهای مثبت را به کلاس های هم ارزی مربوطه تقسیم می کنیم. هر کلاس از این قبیل یک عدد گویا مثبت است.

• دایره المعارف بزرگ اتحاد جماهیر شوروی بیان می کند که "نگرش یک نگرش عاطفی-ارادی یک فرد نسبت به چیزی است، یعنی. بیان موضع او؛ کنار هم قرار دادن ذهنی اشیا یا جنبه های مختلف یک شی معین. در فرهنگ لغت توضیحی دی.

ویژگی های رابطه:

1) بازتابی؛

2) تقارن؛

3) گذر

4) پیوستگی

نگرش آردر مجموعه ایکستماس گرفت منعکس کنندهاگر در مورد هر عنصر از مجموعه ایکسمی توان گفت در رابطه است آربا خودم: ایکسRx.اگر رابطه بازتابی باشد، در هر رأس نمودار یک حلقه وجود دارد. برعکس، گرافی که هر رأس آن دارای یک حلقه است، یک گراف رابطه بازتابی است.

نمونه‌هایی از روابط بازتابی عبارتند از رابطه چندگانه روی مجموعه اعداد طبیعی (هر عدد مضربی از خودش است) و رابطه تشابه مثلث‌ها (هر مثلث شبیه خودش است) و رابطه تساوی (هر عدد). برابر با خودش است) و غیره

روابطی وجود دارند که خاصیت بازتابی ندارند، به عنوان مثال، رابطه عمود بر قطعات: اب، با(قسمتی وجود ندارد که بتوان گفت عمود بر خودش است) . بنابراین، هیچ حلقه ای در نمودار این رابطه وجود ندارد.

دارای خاصیت بازتابی نیست و نسبت "طولانی تر" برای بخش ها، "بزرگتر از 2" برای اعداد طبیعی و غیره است.

نگرش آردر مجموعه ایکستماس گرفت ضد انعکاس، اگر برای هر عنصری از مجموعه باشد ایکسهمیشه دروغ ایکسRx: .

روابطی هستند که نه انعکاسی دارند و نه ضد انعکاسی. نمونه ای از چنین رابطه ای رابطه «نقطه ایکسمتقارن به یک نقطه درنسبتا مستقیم ل"، بر روی مجموعه نقاط هواپیما تعریف شده است. در واقع، تمام نقاط خط لبا خود متقارن هستند و نقاطی که روی یک خط قرار ندارند لبا خودشان متقارن نیستند

نگرش آردر مجموعه ایکستماس گرفت متقارن, در صورت تحقق شرط: از این که عنصر ایکسدر رابطه با عنصر است y، نتیجه می شود که عنصر yدر رابطه است آربا عنصر ایکس:xRyyRx.

نمودار یک رابطه متقارن دارای ویژگی زیر است: همراه با هر فلشی که از آن می آید ایکسبه y، نمودار حاوی یک فلش است که از آن می رود yبه ایکس(شکل 35).

نمونه هایی از روابط متقارن می تواند موارد زیر باشد: نسبت "موازی" پاره ها، نسبت "عمود بودن" پاره ها، نسبت "برابری" پاره ها، نسبت تشابه مثلث ها، نسبت "برابری" کسری و غیره

روابطی هستند که خاصیت تقارن ندارند.

در واقع، اگر بخش ایکسطولانی تر از بخش در، سپس بخش درنمی تواند طولانی تر از بخش باشد ایکس. نمودار این رابطه دارای تکینگی است: فلشی که رئوس را به هم متصل می کند فقط در یک جهت هدایت می شود.

نگرش آرتماس گرفت پاد متقارن، اگر برای هر عنصر ایکسو yخارج از حقیقت xRyنادرستی به دنبال دارد yRx: : xRyyRx.

علاوه بر رابطه طولانی تر، روابط ضد متقارن دیگری نیز در مجموعه قطعات وجود دارد. به عنوان مثال، رابطه "بزرگتر از" برای اعداد (اگر ایکسبیشتر در، آن درنمی تواند بیشتر باشد ایکس)، نسبت "بیشتر توسط" و غیره.

روابطی هستند که نه خاصیت تقارن دارند و نه خاصیت ضد تقارن.

رابطه R در مجموعه ایکستماس گرفت متعدیاگر از کدام عنصر ایکسدر رابطه است آربا عنصر y،و عنصر yدر رابطه است آربا عنصر z، نتیجه می شود که عنصر ایکسدر رابطه است آربا عنصر z: xRyو yRzxRz.

نمودار یک رابطه انتقالی با هر جفت فلش که از آن می رود ایکسبه yو از yبه z، حاوی فلشی است که از ایکسبه z.

رابطه "طولانتر" در مجموعه قطعات نیز دارای خاصیت گذر است: اگر قطعه آطولانی تر از بخش ب، بخش خط بطولانی تر از بخش با، سپس بخش آطولانی تر از بخش با.رابطه "برابری" در مجموعه قطعات نیز دارای خاصیت گذر است: (a=b، b=c)(a=c).

روابطی هستند که خاصیت گذر ندارند. چنین رابطه ای مثلاً رابطه عمودی است: اگر قطعه آعمود بر قطعه ب، و بخش بعمود بر قطعه با، سپس بخش ها آو باعمود نیست!

ویژگی دیگری از روابط وجود دارد که به آن خاصیت متصل می گویند و رابطه ای که آن را داشته باشد متصل می گویند.

نگرش آردر مجموعه ایکستماس گرفت مربوط،اگر برای هر عنصر ایکسو yاز این مجموعه، شرط زیر برقرار است: اگر ایکسو yمتفاوت هستند، پس هر دو ایکسدر رابطه است آربا عنصر y، یا عنصر yدر رابطه است آربا عنصر ایکس. با استفاده از نمادها، این را می توان به صورت زیر نوشت: xyxRyیا yRx.

به عنوان مثال، رابطه "بزرگتر از" برای اعداد طبیعی دارای خاصیت متصل بودن است: برای هر اعداد مختلف x و y، می توان یکی از این دو را ادعا کرد. x>y، یا y>x.

در یک گراف رابطه، هر دو راس با یک فلش به هم متصل می شوند. عکس آن نیز صادق است.

روابطی هستند که خاصیت اتصال را ندارند. چنین رابطه ای، برای مثال، رابطه بخش پذیری بر مجموعه اعداد طبیعی است: می توانیم چنین اعدادی را x و yهر تعداد که باشد ایکسمقسوم کننده نیست y، بدون شماره yمقسوم کننده نیست ایکس(شماره 17 و 11 , 3 و 10 و غیره.) .

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. در مجموعه X=(1، 2، 4، 8، 12)رابطه «عدد ایکسمضرب از y". اجازه دهید یک نمودار از این رابطه بسازیم و ویژگی های آن را فرموله کنیم.

در مورد رابطه تساوی کسرها می گویند رابطه هم ارزی است.

نگرش آردر مجموعه ایکستماس گرفت رابطه هم ارزی،اگر به طور همزمان دارای خواص بازتابی، تقارن و گذر باشد.

نمونه هایی از روابط هم ارزی عبارتند از: روابط برابری شکل های هندسی، نسبت موازی خطوط (به شرطی که خطوط منطبق موازی در نظر گرفته شوند).

در رابطه «برابری کسرها» که در بالا بحث شد، مجموعه ایکسبه سه زیر مجموعه تقسیم می شود: ; ; }, {; } , (). این زیر مجموعه ها با هم تلاقی نمی کنند و اتحاد آنها با مجموعه منطبق است ایکس، یعنی ما یک پارتیشن از مجموعه به کلاس ها داریم.

بنابراین، اگر یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه X داده شود، آنگاه پارتیشنی از این مجموعه را به زیرمجموعه های متمایز جفتی ایجاد می کند - کلاس های هم ارزی.

بنابراین، ما ایجاد کردیم که رابطه برابری در مجموعه
ایکس=( ;; ; ; ; ) مربوط به تقسیم این مجموعه به کلاس های هم ارزی است که هر کدام از کسرهای مساوی تشکیل شده است.

اصل تقسیم یک مجموعه به کلاس ها با استفاده از برخی رابطه های هم ارزی یک اصل مهم در ریاضیات است. چرا؟

اول، معادل - به معنای معادل، قابل تعویض است. بنابراین، عناصر یک کلاس هم ارزی قابل تعویض هستند. بنابراین، کسری که در یک کلاس هم ارزی قرار دارند (; ; )، از نظر رابطه تساوی و کسری قابل تشخیص نیستند برای مثال می توان با دیگری جایگزین کرد . و این جایگزینی نتیجه محاسبات را تغییر نخواهد داد.

ثانیاً، از آنجایی که عناصری در کلاس هم ارزی وجود دارد که از نظر برخی رابطه ها قابل تشخیص نیستند، اعتقاد بر این است که کلاس هم ارزی توسط هر یک از نمایندگان آن تعیین می شود. عنصر دلخواه کلاس بنابراین، هر کلاس از کسرهای مساوی را می توان با تعیین هر کسری متعلق به این کلاس مشخص کرد. یک کلاس هم ارزی با توجه به یک نماینده، به جای همه عناصر یک مجموعه، امکان مطالعه مجموعه ای از نمایندگان از طبقات هم ارزی را فراهم می کند. به عنوان مثال، رابطه هم ارزی "دارای تعداد رئوس یکسان" داده شده بر روی مجموعه ای از چند ضلعی ها، تقسیمی از این مجموعه را به کلاس های مثلث، چهار گوش، پنج ضلعی و غیره ایجاد می کند. ویژگی های ذاتی یک کلاس خاص برای یکی از نمایندگان آن در نظر گرفته می شود.

ثالثاً، تقسیم یک مجموعه به کلاس ها با کمک یک رابطه هم ارزی برای معرفی مفاهیم جدید استفاده می شود. به عنوان مثال، مفهوم "بسته ای از خطوط" را می توان به عنوان آن چیز مشترکی که خطوط موازی با یکدیگر دارند تعریف کرد.

روابط نظم یکی دیگر از انواع مهم رابطه است. مشکل را در نظر بگیرید ایکس={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) رابطه «هنگام تقسیم بر باقیمانده یکسان باشد 3 ". این رابطه پارتیشنی از مجموعه را ایجاد می کند ایکسبه کلاس ها: یک شامل همه اعداد، زمانی که بر تقسیم می شود 3 در باقی مانده به دست می آید 0 (اینها اعداد هستند 3, 6, 9 ). در دوم - اعداد، هنگام تقسیم بر 3 باقی مانده است 1 (اینها اعداد هستند 4, 7, 10 ). سومی شامل تمام اعداد، زمانی که تقسیم بر 3 باقی مانده است 2 (اینها اعداد هستند 5, 8 ). در واقع، مجموعه های به دست آمده قطع نمی شوند و اتحاد آنها با مجموعه منطبق است ایکس. بنابراین، رابطه «داشتن همان باقیمانده هنگام تقسیم بر 3 » در مجموعه تعریف شده است ایکس، یک رابطه هم ارزی است.

برای مثال دیگر، بسیاری از دانش آموزان در یک کلاس را می توان بر اساس قد یا سن مرتب کرد. توجه داشته باشید که این رابطه دارای خواص ضد تقارن و گذر است. یا ترتیب حروف الفبا را همه می دانند. این توسط نگرش "باید" ارائه می شود.

نگرش آردر مجموعه ایکستماس گرفت رابطه نظم دقیق، اگر همزمان دارای خواص ضد تقارن و گذر باشد. به عنوان مثال، رابطه ایکس< y».

اگر رابطه دارای خواص بازتابی، ضد تقارن و گذر باشد، چنین خواهد بود. رابطه سفارش غیر دقیق. به عنوان مثال، رابطه ایکسy».

نمونه هایی از رابطه ترتیب عبارتند از: رابطه "کمتر از" در مجموعه اعداد طبیعی، رابطه "کوتاهتر" در مجموعه قطعات. اگر یک رابطه نظمی خاصیت متصل بودن را نیز داشته باشد، به آن می گویند رابطه نظم خطی. به عنوان مثال، رابطه "کمتر از" در مجموعه اعداد طبیعی.

یک دسته از ایکستماس گرفت منظم،اگر رابطه سفارشی دارد.

مثلا خیلی ها X={2, 8, 12, 32 ) را می توان با استفاده از رابطه "کمتر از" (شکل 41)، یا این کار را می توان با استفاده از رابطه "چند" (شکل 42) انجام داد. اما به عنوان یک رابطه ترتیبی، روابط "کمتر از" و "ضرب" مجموعه اعداد طبیعی را به روش های مختلف مرتب می کنند. رابطه "کمتر از" به شما امکان می دهد هر دو عدد را از مجموعه مقایسه کنید ایکس، و رابطه «ضرب» چنین خاصیتی ندارد. بله، یکی دو عدد. 8 و 12 مقید به رابطه «ضرب» نیست: نمی توان گفت 8 چندگانه 12 یا 12 چندگانه 8.

نباید تصور کرد که همه روابط به روابط هم ارزی و روابط نظمی تقسیم می شوند. تعداد زیادی از روابط وجود دارد که نه روابط هم ارزی هستند و نه روابط نظمی.

تعریف. رابطه باینری Rزیر مجموعه ای از جفت نامیده می شود (الف، ب)∈Rمحصول دکارتی A×B، یعنی R⊆A×B. در عین حال، بسیاری از آدامنه تعریف رابطه R نامیده می شود، مجموعه B دامنه مقادیر نامیده می شود.

علامت گذاری: aRb (یعنی a و b در رابطه با R هستند). /

اظهار نظر: اگر A = B باشد، R رابطه ای در مجموعه A است.

راه های تعیین روابط دودویی

1. فهرست (شمارش جفت ها) که این رابطه برای آنها برقرار است.

2. ماتریس. رابطه دودویی R ∈ A × A ، که در آن A = (a 1 , a 2 ,..., a n ) مربوط به یک ماتریس مربع از مرتبه n است که در آن عنصر c ij , که در تقاطع i است سطر -ام و ستون j در صورت وجود رابطه R بین a i و j برابر با 1 یا در صورت عدم وجود رابطه 0 است:

ویژگی های رابطه

فرض کنید R یک رابطه در مجموعه A، R ∈ A×A باشد. سپس رابطه R:

به صورت انعکاسی اگر Ɐ a ∈ A: a R a (مورب اصلی ماتریس رابطه بازتابی فقط دارای یکی است).

ضد بازتاب است اگر Ɐ a ∈ A: a R a (مورب اصلی ماتریس رابطه بازتابی فقط شامل صفر است).

متقارن اگر Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (ماتریس چنین رابطه ای با توجه به قطر اصلی متقارن است، یعنی c ij c ji).

ضد متقارن اگر Ɐ a، b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (در ماتریس چنین رابطه ای، هیچ یک از آنها متقارن نسبت به قطر اصلی وجود ندارد).

گذرا اگر Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c خط i-امبرای مثال، یک واحد در مختصات j (ستون) ردیف وجود دارد، یعنی c ij = 1، سپس همه واحدها در ردیف j (اجازه دهید این واحدها با مختصات k e مطابقت داشته باشند به طوری که، c jk = 1) باید با واحدهای خط i در همان مختصات k ام مطابقت داشته باشد، یعنی c ik = 1 (و، شاید، همچنین در مختصات دیگر).

وظیفه 3.1.خصوصیات رابطه R - "قسم‌گیرنده بودن" را که در مجموعه اعداد طبیعی داده شده است را تعیین کنید.

راه حل.

نسبت R = ((a,b):a مقسوم علیه b):

انعکاسی، نه ضد بازتاب، زیرا هر عددی خودش را بدون باقیمانده تقسیم می کند: a/a = 1 برای همه a∈N ;

متقارن نیست، ضد متقارن، برای مثال، 2 مقسوم علیه 4 است، اما 4 مقسوم علیه 2 نیست.

به صورت گذرا، زیرا اگر b/a ∈ N و c/b ∈ N، پس c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N، برای مثال، اگر 6/3 = 2∈N و 18/6 = 3∈N ، سپس 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

وظیفه 3.2.ویژگی های رابطه R - "برادر بودن" را که در مجموعه ای از افراد داده شده است، تعیین کنید.
راه حل.

نسبت R = ((a,b):a - برادر b):

غیر بازتابی، ضد انعکاسی به دلیل عدم وجود آشکار aRa برای همه a.

متقارن نیست، زیرا به طور کلی بین برادر a و خواهر b aRb وجود دارد، اما bRa وجود ندارد.

ضد متقارن نیست، زیرا اگر a و b برادر باشند، aRb و bRa، اما a≠b.

گذرا، اگر برادران را افرادی بنامیم که دارند والدین مشترک(پدر و مادر).

وظیفه 3.3.مشخص کردن ویژگی های رابطه R - "to boss" مشخص شده در مجموعه عناصر ساختار

راه حل.

نسبت R = ((a,b) : a - boss b):

• غیر انعکاسی، ضد انعکاس، اگر در تعبیر خاصی معنا نداشته باشد;
• متقارن، ضد متقارن نیست، زیرا برای همه a≠b aRb و bRa به طور همزمان برآورده نمی شوند.
• به طور گذرا، از آنجایی که اگر a سر b و b سر c باشد، a سر c است.

خواص رابطه R i را که روی مجموعه M i با ماتریس تعریف شده است، تعیین کنید، اگر:

1. R 1 "هنگام تقسیم بر 5 باقیمانده یکسانی دارد"؛ M 1 مجموعه اعداد طبیعی است.
2. R 2 "برابر باشید"؛ M 2 مجموعه اعداد طبیعی است.
3. R 3 "در همان شهر زندگی می کنند"؛ M 3 مجموعه افراد.
4. R 4 "آشنا باشید"؛ M 4 افراد زیادی.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - زوج؛ M 5 مجموعه اعداد (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a،b):(a+b) - زوج؛ M 6 مجموعه اعداد (1،2،3،4،5،6،7،8،9).
7. R 7 ((a,b):(a+1) - مقسوم علیه (a+b)) ; M 7 - مجموعه (1،2،3،4،5،6،7،8،9).
8. R 8 ((a,b):a - مقسوم علیه (a+b),a≠1); M 8 مجموعه اعداد طبیعی است.
9. R 9 "خواهر بودن"؛ M 9 - افراد زیادی.
10. R 10 "دختر بودن"؛ M 10 - افراد زیادی.

عملیات روی روابط باینری

فرض کنید R 1 , R 1 روابط تعریف شده در مجموعه A باشد.

اتحاد. اتصال R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 یا (a,b) ∈ R 2 ) ;

تقاطع R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 و (a,b) ∈ R 2 ) ;

تفاوت R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 and (a, b) ∉ R 2 ) ;

رابطه جهانی U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

علاوه بر این R 1 U \ R 1 ، که در آن U = A × A;

رابطه هویتی I: = ((a;a) / a ∈ A);

رابطه معکوس R-1 1 : R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

ترکیب بندی R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b)، که در آن R 1 ⊂ A × C و R 2 ⊂ C×B؛

تعریف. درجه رابطه R در مجموعه A ترکیب آن با خودش است.

تعیین:

تعریف. اگر R ⊂ A × B، R º R -1 نامیده می شود هسته رابطه R .

قضیه 3.1.فرض کنید R ⊂ A × A یک رابطه تعریف شده در مجموعه A باشد.

1. R انعکاسی است اگر و فقط اگر (از این پس علامت ⇔ استفاده می شود) زمانی که I ⊂ R.
2. R متقارن است ⇔ R = R -1.
3. R گذرا ⇔ R º R ⊂ R است
4. R ضد متقارن ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I است.
5. R ضد بازتاب است ⇔ R ⌒ I = ∅ .

وظیفه 3.4 . فرض کنید R رابطه بین مجموعه های (1،2،3) و (1،2،3،4) باشد که با شمارش جفت ها به دست می آید: R = ((1،1)، (2،3)، (2، 4)، (3.1)، (3.4)). علاوه بر این، S رابطه ای است بین مجموعه های S = ((1،1)، (1،2)، (2،1)، (3،1)، (4،2)). R -1، S -1 و S º R را محاسبه کنید. بررسی کنید که (S º R) -1 = R -1، S -1.

راه حل.
R -1 = ((1.1)، (1.3)، (3.2)، (4.2)، (4.3));
S -1 = ((1.1)، (1.2)، (1.3)، (2.1)، (2.4));
S º R = ((1،1)، (1،2)، (2،1)، (2،2)، (3،1)، (3،2));
(S º R) -1 = ((1،1)، (1،2)، (1،3)، (2،1)، (2،2)، (2،3));
R -1 º S -1 = ((1.1)، (1.2)، (1.3)، (2.1)، (2.2)، (2.3)) = (S º R ) -1.

وظیفه 3.5 . بگذارید R رابطه «...والد...» و S رابطه «...برادر...» در مجموعه همه افراد باشد. شرح شفاهی مختصری از رابطه ارائه دهید:

R -1، S -1، Rº S، S -1 º R -1 و Rº R.

راه حل.

R -1 - رابطه "... فرزند ..."؛

S -1 - رابطه "... برادر یا خواهر ..."؛

R º S - رابطه "... والد ..."؛

S -1 º R -1 - رابطه "... فرزند ..."

R º R - رابطه "... مادربزرگ یا پدربزرگ..."

وظایف برای راه حل مستقل

1) بگذارید R رابطه «...پدر...» باشد و S رابطه «...خواهر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1، S -1، Rº S، S -1 º R -1، Rº R.

2) بگذارید R رابطه «...برادر...» باشد و S رابطه «...مادر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1 ، S -1 ، Sº R ، R -1 º S -1 ، S º S.

3) بگذارید R رابطه «...پدربزرگ...» و S رابطه «...پسر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

4) بگذارید R رابطه «...دختر...» باشد و S رابطه «... مادربزرگ...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

5) بگذارید R رابطه "... خواهرزاده..." و S رابطه "... پدر..." در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1، S -1، Sº R، R -1 º S -1، Rº R.

6) بگذارید R رابطه «خواهر...» و S رابطه «مادر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1 ، S -1 ، Rº S ، S -1 º R -1 ، S º S.

7) بگذارید R رابطه «...مادر...» و S رابطه «...خواهر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1، S1، Rº S، S1 º R1، Sº S.

8) بگذارید R رابطه «...پسر...» باشد و S رابطه «...پدربزرگ...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1، S -1، Sº R، R -1 º S -1، Rº R.

9) بگذارید R رابطه «...خواهر...» و S رابطه «...پدر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1 ، S -1 ، Rº S ، S -1 º R -1 ، S º S.

10) بگذارید R رابطه «...مادر...» و S رابطه «...برادر...» در مجموعه همه افراد باشد. یک توصیف شفاهی از رابطه ارائه دهید:

R -1، S -1، Sº R، R -1 º S -1، Rº R.